TRANSFORMADAS DE LAPLACE

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

TRANSFORMADAS DE FOURIER

Basándose en el análisis de Fourier, una señal digital es una señal analógica compuesta. El ancho de banda es infinito, como se podría adivinar. Se puede llegar a este concepto si se estudia una señal digital. Una señal digital, en el dominio del tiempo, incluye segmentos horizontales y verticales conectados. Una línea vertical en el dominio de tiempo significa una frecuencia cero (no hay cambio en el tiempo). Ir de una frecuencia cero a una frecuencia infinito (y viceversa) implica que todas las frecuencias en medio son parte del dominio. El análisis de Fourier se puede usar para descomponer una señal. Si la señal digital es periódica, lo que es raro en comunicaciones, la señal descompuesta tiene una representación en el dominio de frecuencia con un ancho de banda infinito y frecuencias discretas. Si la señal digital es aperiódica, la señal descompuesta todavía tiene un ancho de banda infinito, pero las frecuencias son continuas.

FILTRO PASA BAJAS

2.3 Filtros ideales.


Un filtro ideal PB(Pasa-Bajas) transmite, sin distorsión, todas las señales de frecuencias menores que una determinada frecuencia de W rad/seg,
Las señales de frecuencia superior a W rad/seg se atenúan completamente, por lo tanto la respuesta en frecuencia (característica de la magnitud) de ese filtro es una función de pulso rectangular.

ESCALAMIENDO DE IMPEDANCIA Y DE FRECUENCIA

El escalamiento en impedancia y en frecuencia es una técnica de circuitos eléctricos mediante
la cual se modifican los valores de los elementos de un circuito obteniendo la misma función
de trasferencia que la del circuito original.
El escalamiento en impedancia consiste en modificar los elementos pasivos de un circuito
lineal e invariante en el tiempo, por medio de un factor que se calcula de manera general como
Z' = ki Z
y de manera particular, sustituyendo las impedancias correspondientes como
R' = k i R
L' = k i L
L' = k i L
C
C'=
ki
Donde k i representa el factor de escalamiento, Z’ es el valor de la impedancia modificada y Z
el valor de la impedancia del circuito original.
El escalamiento en frecuencia consiste en modificar las impedancias de un circuito de
referencia, de manera que al variar la frecuencia del mismo, la respuesta en frecuencia sigue
manteniéndose igual a la del circuito original.
Este escalamiento se lleva a cabo alterando el valor de los capacitores e inductores por un
factor. La impedancia resistiva no se afecta dado que no depende de la frecuencia. De manera
que el escalamiento en frecuencia se aplica a los elementos en forma similar a la Ec.(1), pero
ahora cambia el factor de escalamiento en frecuencia a k f.
Z' = Z
las impedancias deben ser iguales a la misma frecuencia, lo que implica que
ω
kf =
ω'
los resistores no se alteran en valor ya que su impedancia no depende de la frecuencia. De
manera particular para las inductancias y capacitancias
L' = k f L
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Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia
C'= k f C
Donde k f representa el factor de escalamiento en frecuencia, Z’ es el valor de la impedancia
modificada y Z el valor de la impedancia del circuito original.

filtros analogicos no lineales

Este tipo de filtros exhibe
un buen rendimiento en la eliminación de ruido impulsivo y tiene la gran ventaja de preservar bordes, característica que es
muy importante en el procesamiento de imágenes. Otra característica importante, en comparación con otros filtros no-
lineales, es que los filtros de medias no-lineales presentan una estructura muy simple. Este beneficio es aprovechado para
obtener arquitecturas que pueden ser empleadas en sistemas de procesamiento de imágenes a nivel píxel usando circuitos
analógicos CMOS en el dominio de la corriente. De esta forma, se presentan simulaciones del filtro analógico de media Lp
no-lineal a nivel sistema

Cuando se presenta ruido dependiente de señal, los
filtros de medias no-lineales también exhiben un buen
desempeño. Para eliminar este tipo de ruido, se pueden
emplear los filtros homomórficos [2]. Este tipo de filtros
pueden ser considerados como un caso especial dela
ecuación (1), por lo tanto, los filtros de medias no-lineales
pueden ser utilizados para reducir ruido dependiente de
señal [6]. Los filtros de medias no-lineales definidos por
las funciones yG, yH, yL-p y yCH-p son utilizados para
remover ruido impulsivo positivo. Cuando se presenta
ruido impulsivo negativo, se pueden emplear los filtros de
medias no-lineales definidos por las funciones yLp y yCHp
[6].
Otra característica importante de los filtros de
medias no-lineales, es que éstos presentan una estructura
muy simple, lo cual hace que se puedan emplear en
realizaciones
analógicas.

tipos de filtros

Tipos de filtros

Hay distintos tipos de clasificación de filtros.

• Atendiendo a la ganancia:

  • Filtros pasivos: los que atenuarán la señal en mayor o menor grado. Se implementan con componentes pasivos como condensadores, bobinas y resistencias.

  • Filtros activos: son los que pueden presentar ganancia en toda o parte de la señal de salida respecto a la de entrada. En su implementación suelen aparecer amplificadores operacionales. No suelen contener bobinas, salvo en el caso de frecuencias muy altas.

• Atendiendo a su respuesta en frecuencia:

  • Filtro paso bajo: Es aquel que permite el paso de frecuencias bajas, desde frecuencia 0 o continua hasta una determinada. Presentan ceros a alta frecuencia y polos a bajas frecuencia.

  • Filtro paso alto: Es el que permite el paso de frecuencias desde una frecuencia de corte determinada hacia arriba, sin que exista un límite superior especificado. Presentan ceros a bajas frecuencias y polos a altas frecuencias.

  • Filtro paso banda: Son aquellos que permiten el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.

  • Filtro elimina banda: Es el que dificulta el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.

  • Filtro paso todo o ecualizador de fase: Idealmente no presenta atenuación, sino que influye sólo sobre la fase.

  • Filtro multibanda: Es que presenta varios rangos de frecuencias en los cuales hay un comportamiento diferente

  • Filtro variable: Es aquel que puede cambiar sus márgenes de frecuencia

• Atendiendo al método de diseño:

  • Filtro de Butterworth

  • Filtro de Chebyshov I y Filtro de Chebyshov II

  • Filtro de Cauer (elíptico)

  • Filtro de Bessel

• Atendiendo a su aplicación:

  • Filtro de red. Este tipo de circuito impide la entrada de ruido externo, además impide que el sistema contamine la red, de tal forma que se pueden utilizar fuentes analógicas y digitales o fuentes PWM que afecten negativamente el resto del equipo. También es posible corregir el factor de potencia ya que el circuito reduce significativamente los picos de corriente generados por el condensador al cargarse. El circuito consiste básicamente en un filtro paso bajo en donde la primera bobina elimina ruido en general (frecuencias altas), junto con los condensadores. El transformador elimina el ruido sobrante, que los condensadores no eliminan. Al transformador se le denomina choque de modo común. Son los utilizados para garantizar la calidad de la señal de alimentación, éstos tienen como objetivo eliminar ruidos tanto en modo común como en modo diferencial.

• Otros tipos:

  • Filtros piezoeléctricos. Este filtro aprovecha las propiedades resonantes de determinados materiales como el cuarzo. Este cristal de cuarzo se utiliza como componente de control de la frecuencia de circuitos osciladores convirtiendo las vibraciones mecánicas en voltajes eléctricos a una frecuencia específica. Esto ocurre debido al efecto piezoeléctrico. En un material piezoeléctrico, al aplicar una presión mecánica sobre un eje, dará como consecuencia la creación de una carga eléctrica. En algunos materiales, se encuentra que aplicando un campo eléctrico según un eje, produce una deformación mecánica según otro eje ubicado a un ángulo recto respecto al primero. Por las propiedades mecánicas, eléctricas, y químicas, el cuarzo es el material más apropiado para fabricar dispositivos con frecuencia bien controlada. También existen filtros como el de ferrita que existe en muchos cables. Es normal encontrárselos en las pantallas del computador. Aquí se tiene la propiedad de presentar distintas impedancias a alta y baja frecuencia

funciones de transferencia

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de
ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos aproximada,
conocidas como Funciones de Transferencia.
Para analizar la respuesta transitoria o la respuesta en frecuencia de sistemas lineales con
una entrada y una salida invariantes con el tiempo, la representación mediante la función
de transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra.
Se debe tener en cuenta que un modelo matemático no es único para un sistema
determinado.
Un sistema puede representarse por diversos modelos matemáticos, dependiendo de cada
punto de vista.
La dinámica de muchos sistemas, sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,
biológicos, etc., se describen en términos de ecuaciones diferenciales.
Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos analíticos
para estudiarlo y sintetizarlo.

SIMPLICIDAD CONTRA PRECISIÓN.

En la obtención de un modelo matemático, debemos establecer un equilibrio entre
simplicidad y precisión.
Si se quiere tener un modelo matemático de parámetros concentrados lineal (uno en el que
se empleen ecuaciones diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas a-linealidades,
que pueden estar presentes en el sistema dinámico.
Si los efectos que estas propiedades ignoradas tienen sobre la respuesta son pequeños, se
obtendrá una buena relación entre los resultados de análisis del modelo matemático y los
resultados del estudio experimental del sistema. Para un análisis con más pormenores, se
elabora un modelo matemático más completo.

SISTEMAS LINEALES.

Un sistema se denomina lineal, cuando se le puede aplicar el Principio de Superposición.
Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos
funciones de entradas diferentes, es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, la
respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los
resultados.

SISTEMAS NO LINEALES.

Un sistema es a-lineal, si no se le puede aplicar el principio de superposición. Por tanto,
para un sistema a-lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a
la vez y sumando los resultados.
Los procedimientos para encontrar soluciones a problemas que involucran sistemas a-
lineales, son complicados. Por ese motivo resulta necesario considerar sistemas lineales
“equivalentes”. Tales sistemas lineales “equivalentes” son válidos sólo para un rango